Este artículo explorará cuál es el base ortonormal de una matriz y cómo encontrarlas en MATLAB usando el orto() función.
¿Cuáles son las bases ortonormales de una matriz?
En álgebra lineal, el base ortonormal de un espacio vectorial V que tiene una dimensión finita son la base que tiene Vectores ortonormales donde el Vectores ortonormales son los vectores unitarios que son ortogonales entre sí, es decir, su producto escalar es cero.
Considere dos vectores unitarios x e y, serán ortogonales entre sí si “x.y=0” . Estos dos vectores también se llaman Vectores ortonormales .
¿Por qué necesitamos calcular la base ortonormal?
Una base ortonormal es útil para encontrar la proyección de un vector sobre otro vector o encontrar la distancia entre los dos vectores. También podemos utilizar un base ortonormal para reducir el error de redondeo en nuestras simulaciones y la única razón de esto es que los vectores en forma ortonormal son independientes entre sí, por lo que un error en un vector no puede propagarse a otros vectores. Además, encontrar coordenadas y realizar transformaciones lineales es mucho más fácil si nuestra base es ortonormal.
¿Cómo encontrar la base ortonormal de una matriz en MATLAB?
En MATLAB podemos encontrar el base ortonormal usando el incorporado orto() función que se encarga de determinar la base ortonormal de una matriz dada. Esta función acepta una matriz como parámetro obligatorio y proporciona una matriz como salida que contiene el base ortonormal de la matriz de entrada dada.
Sintaxis
El orto() La función se puede implementar en MATLAB mediante las siguientes sintaxis:
Q = orte ( A,tol )
Aquí,
- La función Q = orto(A) es responsable de determinar la base ortonormal para el rango de A donde las columnas de la matriz de salida Q representan el base ortonormal de la matriz A y envían spam al rango de la matriz A. Además, el rango de A es igual al recuento de columnas de Q.
- La función Q = orto(A,tol) es responsable de determinar la base ortonormal para el rango de A especificando la tolerancia. Los valores singulares de la matriz de entrada A, que son menores que la tolerancia, se tratan como cero al afectar el número de columnas de Q.
Ejemplo 1: ¿Cómo encontrar la base ortonormal de una matriz de rango completo en MATLAB?
Este código MATLAB determina el base ortonormal de la matriz cuadrada A dada que tiene tamaño n = 3 usando el orto() función. Este código también encuentra el rango de una matriz A usando el rango() función para verificar que la matriz de entrada tenga el rango completo.
Una = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rango ( A )
Q = orte ( A )
Ejemplo 2: ¿Cómo calcular la base ortonormal de una matriz de rango deficiente en MATLAB?
En este ejemplo, utilizamos el orto() función para encontrar el base ortonormal de la matriz A con rango deficiente dada. La matriz A tiene rango deficiente porque rango(K)
r = rango ( A )
Q = orte ( A )
Ejemplo 3: ¿Cómo encontrar la base ortonormal de una matriz de rango completo especificando la tolerancia en MATLAB?
El ejemplo dado calcula el base ortonormal de la matriz cuadrada A de rango completo dada que tiene tamaño norte=3 utilizando el orto() funcionan con tolerancia predeterminada. Como A es una matriz de rango completo, el tamaño de A y Q (base ortogonal) es el mismo, que en este caso es 3×3. Luego, el ejemplo calcula la base ortonormal de A especificando el valor de tolerancia 0,5 para considerar los valores de A inferiores a 0,5 como valores singulares. Hay tres valores singulares en A, por lo que A tiene dos vectores columna ortonormales contenidos en el Qtol matriz.
A = rand ( 3 ) ;r = rango ( A )
Q = orte ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Conclusión
Encontrar el base ortonormal de un espacio vectorial es un concepto importante del álgebra lineal que es un problema matemático complicado. Sin embargo, se puede resolver fácil y eficientemente utilizando el software integrado de MATLAB. orto() función. Este artículo ha presentado la implementación de esta función utilizando diferentes sintaxis y ejemplos.